வட்டமும் விட்டமும்

"எண்கள் உலகை ஆளுகின்றன" - 
கிரேக்கத்  தத்துவ வாதிகளின் கருத்து.
தமிழர்கள் ஒரு படி மேலே போய் , "எண்களும் எழுத்துகளும் (நமக்குக்) கண்கள் " என்றனர்!

"எண்ணென்ப ஏனை எழுத்தென்ப இவ்விரண்டும்  கண்ணென்ப வாழும் உயிர்க்கு " என்பாரே நம் திருவள்ளுவர். அதனையே இன்னும் சுருக்கி ஔவைப் பாட்டி "எண்ணும்  எழுத்தும் கண்ணெனத் தகும்" என்று சொல்லிவிட்டுப் போய்  விட்டாரே! இந்த எண்கள்  பற்றி ஏராளமாக எழுதலாம். எண்களின் அடிப்படையில் கணிதம் எழுகிறது. எண் கணிதத்தில்  மிக முக்கியமானவை மூன்று :
π, தங்க விகிதம் (golden ratio),  பிபோனாச்சி எண்கள்.  (Fibonacci numbers) இவை சுவாரசியமானவை கூட! இவற்றுள், தமிழ் நெடுங் கணக்கின் துணை எழுத்தான 'கால்' போல இருக்கிறதே π அதனைப் பற்றி மட்டும் இங்கே காண்போம். மற்ற இரண்டையும் வேறொரு சமயம் பார்த்துக்கொள்ளலாம்.

இந்த எழுத்து கிரேக்க நெடுங்  கணக்கின் 16 -ஆவது எழுத்து. இதன் பெயர் 'பை' (Pi).வட்டத்தின் சுற்றளவைக் குறிக்கப்  'பெரிமீட்டர்'  ("περίμετρον" ) என்ற சொல்லைக் கிரேக்கர்கள் பயன்படுத்தினர். இப்பெயர் இந்த எழுத்தில் தொடங்குவதால், வட்டத்தின் விட்ட வகுதியைக் குறித்ததற்கு இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தினர். வட்டத்தின் விட்ட வகுதி என்றால்...? வாருங்கள் அதைப் புரிந்துகொள்வோம்.

இயற்கையில் எல்லாமே வட்ட (அல்லது நீள் வட்ட ) வடிவில் உள்ளன : வட்ட வடிவுக்கு எடுத்துக்காட்டாக உலகம், கோள்கள், நிலவு, பகலவன் என...அடுக்கிக்கொண்டே போகலாம் "அண்டப் பகுதியின் உண்டைப் பிறக்கம்" என்பார் மாணிக்கவாசகர். நீள் வடிவுக்குக் காட்டு பகலவனை மையமாக வைத்துக்  கோள்கள் சுற்றிவரும் பாதைகள். சரி, வட்டம் என்பது எது?

புள்ளி ஒன்றை மையமாகக்கொண்டு ஒரே தொலைவு இருக்குமாறு   மூடிய  கோடு ஒன்றை வரையுங்கள். (அந்தக் கோட்டில் உள்ள எந்தப் புள்ளிக்கும் மையப் புள்ளிக்கும் உள்ள அளவு ஒரே அளவாக இருக்கவேண்டும்).இதுதான் வட்டம். இந்த வட்டத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளிக்கு நேர் எதிராக இருக்கும் புள்ளியை இணைத்துக் கோடு இடுங்கள்.இந்தக் கோடுதான் விட்டம்.

இது வட்டம் :                                                                      இது விட்டம் :

இவை இரண்டுக்கும் அற்புதமான தொடர்பு இருக்கிறது ; வட்டத்துக்குள் விட்டம் அடங்கும். வட்டத்தின் சுற்றளவு "பரிதி" எனப்படும். வட்டத்தைக் குறிக்க தமிழர்கள் பரிதி என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்தி உள்ளனர்..(முனைவர் பெ. துரைசாமி, தமிழரின் வானியல் கோட்பாடுகள், அறிவன் பதிப்பகம், தஞ்சாவூர், டிசம்பர் 2005. பக்கம் 34). 

வட்டத்துக்கும் விட்டத்துக்கும் உள்ள கணித உறவை இப்படி விளக்கலாம் :

வட்டத்தின் சுற்றளவு  = விட்டத்தின் அளவு  X  π.

இதில் π என்பது நிலை எண்  (மாறிலி - Constant).

அதாவது 

π = 

வட்டத்தின் சுற்றளவு
____________________
 விட்டத்தின் அளவு

வட்டத்துச் சுற்றளவுக்கும் வட்டத்தின் விட்டத்துக்கும் உள்ள விகிதமே 'பை'.

        
இந்த 'பை' பற்றிய அறிவு மிக முற்கால நாகரிகங்கள் அனைத்திலும் இருந்து வந்துள்ளது.இதன் மதிப்பைப் பாபிலோனியர்கள், எகிப்தியர்கள், சீனர்கள், கிரேக்கர்கள்...எனப் பலரும் பலவிதங்களில் கணக்கிட்டனர். இவர்களுள் இந்தியக்  கணிதவியலாரும் அடங்குவர். பழங்கால நூலான காக்கைப் பாடினியம் கூறுவதைப் பாருங்கள் :

"விட்டமோர் ஏழு செய்து திகைவர நான்கு சேர்த்து
சட்டென இரட்டி செயின் திகைப்பன சுற்றுத்தானே".

அதாவது,

இதன்படி விட்டத்தை வி என எடுத்துக்கொண்டால்,

1.        திகைவர = வி ஆகும்

2.        விட்டமோர் ஏழு செய்து = வி/7 ஆகும்

3.       நான்கு சேர்த்து = வி + 4*(வி/7) ஆகும்
 4       சட்டென இரட்டி செயின் = (2 (வி + (4வி/7) ஆகும்.

இதன்படி முறைசெய்தால் (2 * ((11 வி) / 7)= 22/7.
இந்த அளவையும் எளிமையாக்கி கூறுகிறது கணக்கதிகாரம். (50) :
"விட்ட மதனை விரைவா யிரட்டித்து
மட்டு நான்மா வதினில் மாறியே – எட்டதினில்
ஏற்றியே செப்பிடி லேறும் வட்டத்தளவும்
தோற்றுமெனப் பூங்கொடி நீ சொல்".

இதன்படி,

1.        விட்ட மதனை விரைவா யிரட்டித்து = 2 * வி ஆகும்

2.        மட்டு நான்மா வதினில் மாறியே = 4 * 1/20 = 4/20 ஆகும். (நான்மா = 1/5)

3.        எட்டதினில் ஏற்றியே = எட்டால் பெருக்க வேண்டும்.

இதன்படி,

(2 * வி * 4/20 * 8 )= (64/20) * வி = 3.2 வி ஆகும்.

நடைமுறை

வண்டித்தச்சர்கள் அச்சாணி செய்ய பயன்படுத்தப்படும் அளவையின் படி, விட்டத்தை மூன்றில் அரைக்கால் சேர்த்து அதை விட்டத்தோடு பெருக்கிக் கொள்கின்றனர். (அரைக்கால் = 1/8 = .125)

இதன்படி,

(3 + .125) * வி = 3.125 வி ஆகும்.

இவை அனைத்தையும் ஒப்புநோக்கினால் துல்லியக் கணக்கிற்கும் நடைமுறை கணக்கிற்கும் தமிழர் பாகுபடுத்திக் கணக்கியல் தந்ததனை அறிந்து கொள்ளலாம். அன்றைக்குத் தமிழர்கள் 'பை'க்குக் கண்ட மதிப்பு 22/7, 3.2, 3.125...இன்றைய கணக்கியல்படிச் சரியாகவே உள்ளது.

'பை-இன் பதின்ம எண் வரிசையிலே, எண்கள் எந்த முறையிலும் மீண்டும் மீண்டும் வாராமல் இருப்பது எதிர்பார்க்கப்பட்டது எனினும் ஒரு வியப்பான செய்தி. இந்த 'பை'-இன் பதின்ம(தசம) எண்கள் வரிசையில் முடிவேதும் இல்லை. இவ்வகை எண்கள் முடிவிலா துல்லியவகையைச் சேர்ந்த சிறப்பு எண்கள். கணித வரலாற்றில் விகிதமுறா எண்களின் அறிமுகம் ஒரு முக்கியமான  திருப்பம். பை, e,, Golden ratio ஆகியவை முக்கிய நன்கு அறியப்பட்ட விகிதமுறா எண்கள் ஆகும்.

மேலே சொன்னது போல வட்டத்துக்குச் சுற்றளவுக்கும் வட்டத்தின் விட்டத்துக்கும் உள்ள விகிதமான
'பை'-உக்கு π என்னும் கிரேக்க எழுத்தை  1737 -இல் அறிமுகப்படுத்தியவர் ஆய்லர் (Euler) .இதன் மதிப்பை நான்கு தசம இடங்கள் வரை 3.1416 என அறுதி இட்டவர்   இந்தியக் கணித அறிஞர் ஆரியபட்டர் . வடமொழிச்  சுலோகம் ஒன்று

gopiibhaagya madhuvraataH shruMgashodadhi saMdhigaH .
khalajiivitakhaataava galahaalaa rasaMdharaH

'பை'-இன் மதிப்பை 31 தசம இடலில் தருகிறது:

pi = 3.1415926535897932384626433832792.

கணித மேதை  இராமானுஜம்  எண்களைப்  பற்றி ஆராய்சிகள் செய்தவர்.அவர்   கண்டுபிடித்த  சூத்திரங்களுள் ஒன்று இது.

இதனைப் பயன்படுத்தி 1985 -இல் வில்லியம் கோஸ்பர் (William Gosper) 17 மில்லியன் தசம எண்கள்  வரை 'பை'-இன் மதிப்பை அளவிட்டுளார்.இப்படி 'பை'-இன் மதிப்பை அளவிடுவது கணித இயலாருக்கு வாடிக்கை மட்டுமல்ல வேடிக்கை கூட!இன்றோ பையின் (π ) அளவை ஒரு டிரில்லியன் பதின்ம (தசம) எண்களுக்கும் மேலாக, மாபெரும் வல்லமை படைத்த கணினிகளைக் கொண்டு கணித்து இருக்கிறார்கள்.

பை'-இன் பண்புகள் :

- இது வகுனி இல்லாதது ; அப்படி என்றால் விகிதம்  அற்றது. இதன் மதிப்பைப்  பின்னத்தில் குறிப்பிட இயலாது. (இதனை ஆங்கிலத்தில் irrational number என்பர்.) அதாவது விகிதம் போல் வகு கோட்டுக்கு மேலும் கீழும் முழு எண்களைக்கொண்ட ஒரு வகுனி எண்ணாக எழுத இயலாத எண் . இம்முடிவை       1761 -ஆம் ஆண்டு திரு. சோஃஆன் ஃஐன்ரிச் லாம்பெர்ட் (Johann Heinrich Lambert) என்பார் நிறுவினார்

- 'பை'-இன் மதிப்புக்கு,  3.14....எனத் தசமத்தின் பின் தொடரும் எண்களின் எண்ணிக்கைக்கு அளவோ முடிவோ கிடையாது.இவ்வெண்கள் ஈறிலி (infinity) வரை தொடர்ந்துகொண்டே இருக்கும்

"யாரே   வடிவினை முடியக்கண்டார்?" எனக் கம்பன் சொன்னது இதற்கும் பொருந்தும்.

'பை'-இன் பயன்பாடுகள் :

அறிவியலில் – குறிப்பாகப்  பொருண்மை இயல் (physics) , பொறியியல் , மின் அமைப்புகள் (electrical systems) - 'பை'-இன் பயன்பாடு அதிகம். இரட்டைச் சுருள்  வடிவில்  DNA உருள்வதற்கும் 'பை'க்கும் நிறைய தொடர்பு உண்டு.சொன்னால் வியப்படைவீர்கள் : ஆம், வானவில்லில் கூட 'பை' இருக்கிறது! கண்ணின் பாவை ஆகிய கரு மணியிலும் அது உண்டு! நீரில் விழுந்து தெறிக்கும் மழைத் துளி கிளப்பும் அதிர்வலைகளிலும் அதைக் காணலாம்.வண்ணங்கள், இசை, புள்ளிவிவரங்கள்...எனப் பல இடங்களில் 'பை' தலை நீட்டும்! ஏன்  ஓரிடத்தில் நிகழும் இறப்புக்  கணக்கு எடுப்பிலும்   அது வருமே! வளைந்து நெளிந்து செல்லும் ஓர் ஆற்றின் நீளத்துக்கும் அதன் தொடக்கத்தில் இருந்து கடலில் கலக்கும் முகத்துவாரம் வரை நேர்க்கோடு கிழித்தால் வரும் தூரத்துக்கும் உள்ள விகிதம் எவ்வளவு தெரியுமா? ஆம், அந்த விகிதத்தின் மதிப்பு 'பை'-இன் மதிப்பேதான்! இதனை நிறுவியவருள்,   மாமேதை ஐன்ஸ்டீனும் ஒருவர்!

'பை'-இன் மதிப்பில் தசமப் புள்ளிக்குப் பின் வரும் எண்களைத் தவறு இல்லாமல்  மனப்பாடமாக ஒப்பித்த மனிதர்களும் உளர். 24 -ஏ  வயதான, சீன மாணவர்  லுய் சாவோ 67890 தசம இடம் வரையில் ஒப்பித்திருக்கிறார், சிறு தவறு கூட இல்லாமல்! இதற்கு அவர் எடுத்தக்கொண்ட நேரம் : 24 மணி 4 நிமிடங்கள்!

தினசரி வாழ்வில் இப்படிப்  'பை'இடம் பெறுகிறது. பல இடங்களிலும் பல விதங்களிலும் பயன்படும் 'பை' மாறிலிகளிலேயே தலை சிறந்தது! அதனால்தான், இதனைச் சிறப்பிக்க மார்ச் 14 ஆம் தேதியை 'பை'  உலக நாளாகக் கொண்டாடுகிறார்கள். இதனை எண்ணில்  எழுதிப் பாருங்கள் :3.14 ! 'பை' -இன் மதிப்பு இப்படித்தானே தொடங்குகிறது. அறிவியல்  மாமேதை ஐன்ஸ்டீன் பிறந்த நாளும் அதுவே. பொருத்தம்தான்!'

'பை' காட்டும் தத்துவங்கள் :

வட்டமும் விட்டமும் கணவன் மனைவி போல! வட்டம் – கணவன். அதன் மையப் புள்ளிதான் மனைவி. மையப் புள்ளி இல்லாமல் வட்டம் வரைய முடியாது. மனைவி இல்லாமல் கணவன் என்னும் பதவி இல்லை! மையப் புள்ளியைச் அச்சாகக் கொண்டுதான் வட்டத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளியும் சுற்றி வர முடியும். மனைவியைச் சுற்றி வந்தால்தான் கணவன் வாழ்வு சிறக்கும்.

வட்டத்துக்குள் விட்டம் அடங்கும் - மனைவி, கணவனுக்குள் அடங்குவது போல! வட்டத்துக்குள் வெளியே விட்டம் இருக்க இயலாது ; வட்டம் இல்லையேல் விட்டம் இல்லை! கணவனை விட்டகன்றால் மனைவி பட்டம் காலி. விட்டத்துக்கு ஆரங்கள் இரண்டு ; இரு மடங்கு மதிப்பு தரும்  கணவனை மனைவி 'விட்டமாக'த்  (தூணாகத்) தாங்குவாள்.

ஆண்டவனுக்கு ஆதியும் இல்லை அந்தமும் இல்லை ; 'பை' –இன் மதிப்புக்குத் தொடக்கம் உண்டு ஆனால் முடிவே இல்லை! அடி, முடி தேடிய படலத்தில் சிவபெருமான் அடி தேடிப் பாதாளத்தைத் தோண்டிக்கொண்டே போன வராக  மூர்த்தி அவதாரத்தின் கதைதான். இந்தக் கதையின் கணிதச் சான்று (mathematical evidence) 'பை'-தான்! இறைவன் நீக்கமற எங்கும் நிறைந்திருப்பது போல 'பை'-இன் பயன்பாடுகள் எல்லா இடங்களிலும் உண்டு…

இப்படிப் 'பை' காட்டும் தத்துவங்கள் பலப்பல. 'பை'-இன் மகத்துவத்தை என்னென்பது!

- பேராசிரியர் பெஞ்சமின் இலெபோ .