பொறுப்பாளர்கள்

பொறுப்பாளர்கள்

கவிஞர் பாரதிதாசனின் தாயகப் பயணம்

vendredi 30 août 2013

எண்ணப் பரிமாற்றம்

                                                         

அன்புடையீர்,

வணக்கம். 'சிறுகக் கட்டிப் பெருக வாழ்' என்றொரு பழமொழி உண்டு. சிக்கனத்தைப் போதிப்பது போல இருந்தாலும் ஒவ்வொன்றையும் கருத்தில் கொண்டு, கணக்கிட்டு கச்சிதமாக வாழவும்  அது வலியுறுத்துகிறது. நம்மை அறியாமலே வாழ்க்கையின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் அதன் போக்கைக் கணக்கிட்டே நாம் செயல்படுகிறோம்.

பள்ளிப் பருவத்தில் எதிர்காலத்தைப் பற்றியக் கற்பனைகளுக்கிணையாகக் எந்தப் படிப்பு எத்தகைய பலனைத் தரும், எது ஏற்புடையது, நம்மால் முடிந்தது எந்த அளவு என்றெல்லாம் கணக்கிட வேண்டியிருக்கிறது. குறைந்தபட்சம் நமக்காக நமது பெற்றோர் குழப்பிக் கொள்கிறார்கள். பின் கிடைத்த வேலையைச் செய்ய நேர்ந்தாலும் கூட அப்படியிருந்தால், இப்படியிருந்தால் என்று மனம் வேறு கணக்குகளில் மூழ்குகிறது.  திருமணம் என்றாலும் இவள் அல்லது இவன் உறவு நமக்கு ஒத்து வருமா, குழந்தைகள் எத்தனை வேண்டும், அவர்களை எப்படி வளர்ப்பது என்று தொடரும் எண்ணக் கணக்குகள் முடிவற்றவை!இதில் சுற்றம் அதைச்சார்ந்த  ஏற்றத் தாழ்வுகள், பதவி,சொத்து என்று   வாழ்க்கைக்குத் தொடர்பு உள்ளதோ என்னவோ நம் ஆசைகளால் ஆன  மனக்கணக்குகள் வளர்ந்து கொண்டே இருக்கின்றன.

இந்தக் கணக்குகள் உரிய விடையைத் தருவதுண்டு. மாறாகத் தவறி விடுவதும் உண்டு. அப்போதுதான் குலைந்து போகிறோம். எங்கே தவறியது என்று புரிந்து கொள்ள முடிவதில்லை. புரிந்தாலும் செப்பனிட முடிவதில்லை!
காலம் பறந்து கொண்டே இருக்கையில், விட்ட இடத்திற்கு மீண்டும் போய்த் திரும்பவும் ஆரம்பிக்க இயலாதாகையால், இழந்தது இழந்ததாகவே ஆகி விடுகிறது. அந்தச் சோகத்தை நம்மால் சீரணிக்க முடிவதில்லை. அது வாழ்நாள் முழுவதும் உள்ளத்தில் பதிந்து போன வடுவாகிவிடுகிறது.

சுழல்கின்ற பம்பரம், தானே சுயமாக  இயங்குவதாய் எண்ணிக்கொள்வதால், வேகம் குறைவதையும், சுற்ற முடியாது செயலிழந்து போவதையும் தன் சொந்த பலவீனமாய் நினைத்து நொந்து போகிறது. கண்களுக்குத் தெரியாததால், அறிவு சிந்திக்காததால் தன்னைச் சுற்ற வைக்க ஒரு கயிறும், அதன் கட்டுப்பாடு  தன்னை இயக்குபவனிடமும் உள்ளதென்னும் உண்மை புரியாமல் போகிறது. அவன் எந்த அளவு கயிற்றை நெருக்கிச் சுற்றி, எந்த வேகத்தில் எந்த லாவகத்தில் தரையில் பம்பரத்தை விடுகிறானோ அந்த அளவே அது சுழலும்! தரை, காற்று என அதன் சுழற்சியைத் தடுக்கும் எத்தனையோ தடங்கல்களுக்கிடையே பம்பரத்துக்கும் "அவன் " போட்டக் கணக்குக்கும் ஏற்ப அது சுற்றுகிறது!

நமது கைகளுக்குள் அடங்கி, நமக்கு உகந்தவாறு வாழ்க்கை  நடக்கும் வரை  நாமும் இறுமாந்து, பெருமிதத்தில் உலவுகிறோம். அப்போதே இதற்கு ஓர் வரைமுறை உண்டு,  பிறருடைய வாழ்வோடு சம்பந்தப் பட்டிருப்பதால்  ஓர் எல்லை உண்டு, ஓர் முடிவும் உண்டு என்பதைப் புரிந்து கொண்டால், வாழும் வரை நிறைவுடனும், எதையும் எதிர் கொள்ளும் பக்குவத்துடனும் வாழலாம்!

திருமதி சிமோன் 

கணிதம் பற்றிய சில செய்திகள்:


                                                                  

வணிகம், எண்களுக்குள்ளானத் தொடர்பு, நிலம்-அண்டம் போன்றவற்றின் அமைப்பை அளப்பதற்கான அறிவியல் கணிதம். இது எண்ணிக்கை, தோற்றம், வடிவம், மாற்றம், நுண்மைத் தரம் போன்றவற்றைத் துல்லியமாகக் கணக்கிடும்.

கணிதத்துறையில் இந்தியர்கள் செய்திருக்கும் சாதனை கணிசமானது. ஒன்று முதல் பத்து எண்கள் கொண்ட தசம வகைப்பாடு முதன் முதலில் இந்தியாவில்தான் கண்டுபிடிக்கப்பட்டிருக்கிறது. அராபியர்கள் மூலமாக அது ஐரோப்பியர்களுக்கு அறிமுகமானதால் அதை அவர்கள் அராபிய எண்கள் என்று அழைத்தார்கள். அந்தப் பெயரே இன்று பெரும்பாலானவர்களால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஆனால், அராபியர்கள் அந்த எண் வரிசையை இந்திய எண்கள் என்றே அழைக்கிறார்கள். கற்றறிந்தவர்களின் கணிதச் சொல்லாடலில் அது இந்தோ அராபிய எண்கள் என்றே சொல்லப்படுகின்றன.

போதாயனர், பிங்களர், ஆரியப்பட்டர், பாஸ்கர ஆச்சாரியர் (முதலாமவர், இரண்டாமவர்) என மிக நீண்ட நெடிய கணித மேதைகளின் பாரம்பரியம் மிகப் பெரிய கணித சாதனைகளை நிகழ்த்தி வந்துள்ளன. பூஜ்ஜியம், எதிர்மறை எண்கள், முடிவிலி, பை – யின் துல்லியமான மதிப்பு (3.14), திரிகோணமிதி, அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகள், பித்தகோரஸ் சூத்திரம், நான்மடிச் சமன்பாடு, வகைகெழு என கணித வரலாற்றின் விதைகள் பெரும்பாலானவை இந்திய மண்ணில் இருந்துதான் முளைத்தெழுந்துள்ளன.

இந்தக் கணித அறிவுதான் நமது கட்டடக்கலையின் செழுமைக்குக் காரணமாக இருந்திருக்கிறது. வான சாஸ்திரத்தின் பல வெற்றிகளுக்கு அடிப்படையாக இருந்திருக்கிறது. அந்த பாரம்பரியம் நவீன காலத்திலும் ராமானுஜம் போன்றோரால் முன்னெடுக்கப்பட்டிருக்கிறது.


Number : The Language of Science என்ற புகழ் வாய்ந்த நூலை எழுதிய Tobias Dantzig அந்த நூலில் சொல்கிறார் :" கணிதத்துறையில் இந்தியர்கள் (இந்து) செய்திருக்கும் சாதனைகள்  உலக  முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை என்பதில் சந்தேகமே இல்லை".


சகுந்தலா தேவி:

இந்திய பெண் கணிதமேதையான சகுந்தலா தேவி அவர்கள், 1939 ஆம் ஆண்டு நவம்பர் மாதம் 04  ஆம் நாள் இந்தியாவின் கர்நாடகா மாநிலத்திலுள்ள பெங்களூரில் ஒரு பிராமண குடும்பத்தில் பிறந்தார். இவருடைய தந்தை  சர்கஸில் வேலைப்பார்த்து வந்தார்.

சகுந்தலா தேவி அவர்கள், தன்னுடைய மூன்று வயதிலேயே, தன் தந்தையுடன் சீட்டு வித்தைகள் செய்து, அவருடைய கணிதத் திறமையை வெளிப்படுத்தினார். ஆறுவயதில், மைசூர் பல்கலைக்கழகத்திலும் மற்றும் எட்டு வயதில் ,அண்ணா பல்கலைக்கழகத்திலும் கணக்கு மற்றும் நினைவாற்றல் திறமையை வெளிப்படுத்தி, அனைவரையும் வியக்க வைத்தார்.

சகுந்தலா தேவி அவர்கள், 1977 ஆம் ஆண்டு 201க்கு ‘23’கனமூலத்தை மனதில் நினைத்தே கூறினார். பிறகு, ஜூன் 18, 1980ல் “லண்டனிலுள்ள இம்பீரியல் கல்லூரியில்” நடந்த ஒரு நிகழ்ச்சியில் இரண்டு 13 இல்லக்க (அதாவது 7,868, 369,774,870 * 2,465,099,745,779  = 18.947.668.177.995.426.462.773.730)  எண்களை பெருக்கி வெறும் 28 வினாடிகளில் கூறி உலகையே வியக்க வைத்தார். இந்த விடை, 26 இலக்கங்கள் கொண்ட ஒரு எண் ஆகும். இது உலக சாதனையாக, ‘கின்னஸ் புத்தகத்தில்’ இடம் பெற்றுள்ளது.

படித்து, பயன்பெற கணிதவியலைப் பற்றி பல நூல்களை எழுதியுள்ளார்.
  • ‘புக் நம்பர்ஸ்’,
  • ‘பெர்ஃபெக்ட் மர்டர்’,
  • ‘ஃபிங்கரிங்: தி ஜாய் ஆஃப் நம்பர்ஸ்’,
  • ‘இன் தி வொண்டேர்லாண்ட் ஆஃப் நம்பர்ஸ்’,
  • ‘அஸ்ட்ராலஜி ஃபார் யூ’
சகுந்தலா தேவி அவர்களுக்கு, சிறுநீரகக் கோளாறும், சுவாசப் பிரச்சனைகளும் இருந்ததால், பெங்களூரில் உள்ள மருத்துவமனையில் அனுமதிக்கப்பட்டார். ஆனால் அவர் சிகிச்சை பலனின்றி, ஏப்ரல் 3 ஆம் தேதி, 2013 ஆம் ஆண்டில், தனது 83 வது வயது மரணமடைந்தார்.

‘ஹ்யூமன் கம்ப்யூட்டர்’ அதாவது ‘மனித-கணினி’ என புகழப்படும் சகுந்தலா தேவி அவர்கள், உலகின் பல நாடுகளுக்கு சென்று, தன்னுடைய கணிதத் திறமையை வெளிப்படுத்தி, சாதனைகள் படைத்ததோடு மட்டுமல்லாமல், நமது பாரத நாட்டிற்கும் பெருமையைத் தேடித் தந்திருக்கிறார்.


பிதகோரசு தேற்றம்
 

ஓடும் நீளம் தனை ஒரே எட்டு
கூறு தாக்கி கூரிலே ஒன்றை
தள்ளி குன்றத்தில் பாதியை சேர்த்தால்
வருவது கர்ணம் தானே

போதாயனர் என்னும் புலவர் எழுதிய பாடல் இது...

விளக்கம்:

அடிப்பகுதியினை (நீளம்) எட்டு சமமான பகுதிகளாக (கூறு) பிரித்து, அதில் ஒரு பகுதியினை கழித்து அதனுடன் குன்றின் அரை பகுதியினை கூட்டினால் கர்ணத்தின் அளவு கிடைக்கும்.

மேற்கூறியது வேறு ஒன்றமல்ல... நாம் கணிதத்தில் படித்த பிதகோரசு தேற்றம்தான் (Pythagoras theorem).

அடிப்பகுதி (Base) - 8
குன்று (Height) - 6

அடிப்பகுதியினை எட்டு சமமான பகுதிகளாக பிரித்து, அதில் ஒரு பகுதியினை கழித்து --> 8-(8/8) = 8 - 1 = 7

குன்றின் அரை பகுதி --> 6/2 = 3

அவை இரண்டையும் கூட்டினால் --> 7 + 3 = 10

பிதகோரசு தேற்றத்தின் படி (Pythagoras theorem):
கர்ணம் = அடிப்பகுதியின் வர்க்கம் + குன்றின் வர்க்கம் ஆகியவற்றின் வர்க்கமூலம்...

கர்ணத்தின் வர்க்கம் = (8 * 8) + (6 * 6) = 64 + 36 = 100
கர்ணத்தின் வர்க்கமூலம் = 10

பிதகோரசு தேற்றம் இயற்றப்படுவதர்க்கு முன்பாகவே அந்த கணித கூற்றினை நமது முன்னோர்கள் கூறிவிட்டனர்... நாம் அவற்றை உலகறிய எடுத்து செல்லாததால் நமது கண்டுபிடிப்பு உலகிற்கு தெரியவில்லை

ஒன்பதாம் வாய்பாடு :

இரு கைகளையும் பக்கவாட்டில் இணைத்து விரல்களை விரியுங்கள் .இப்போது, இடக்கைப் பெருவிரலிலிருந்து வலக்கைப் பெருவிரல் வரை பத்து விரல்கள்...எந்த எண்ணை 9 ஆல் பெருக்கவேண்டுமோ அந்த விரலை மடக்கிக் கொள்ளுங்கள். மடக்கிய விரலுக்கு இடப்புறம் எத்தனை விரல்கள் ? வலப்புறம் எத்தனை விரல்க்ள் ? இரண்டையும் இணைத்தால் அதுதான் விடை.! 


சில புதிர்கள்:

40-லிருந்து 10-ஐ 4முறை கழித்துப் பார்த்தால் கிடைக்கும் விடை என்ன?
(30தான். ஒவ்வொரு முறையும் 40லிருந்துதானே கழிக்கிறோம்?)

 I96I- இந்த எண்ணின் சிறப்பு என்ன? (திருப்பிப் போட்டாலும் அதே எண் தான் வரும்)

ஐந்து 9 களைக்கொண்டு 10 ஐ எழுதுங்கள். (99/99-1, 9+1=10)
இதே போல்  எட்டு "8" களை பயன்படுத்தி ஒரு 1000 உருவாக்குங்க!!! 

3 என்ற எண்ணை 5 முறை பயன்படுத்தி மொத்த கூடுதல் 31 என்று வர வேண்டும். (+,-,x , ÷  எதை வேண்டுமாலும் பயன்படுத்திக் கொள்ளலாம் )

ஒவ்வொரு மூன்றடிக்கும் ஒரு தூண் வீதம் நடப்படுகிறது எனில் 30 அடி நீளமுள்ள தாழ்வாரத்திற்கு எத்தனை தூண்கள் தேவை ?

30 அடிக்கு 10 தூண்கள் மேலும் முதலில் நடப்பட்டுள்ள தூணையும் சேர்த்து 11 தூண்கள்.

Mathematical Reviews என்ற கணித விமர்சனம் 1940 ஆம் ஆண்டு தொடங்கப்பட்டு இன்று ஒவ்வொரு மாதமும் 2000 பக்கங்களுடன் வெளிவருகிறது. இதில் வெளியான 20லட்சம் கட்டுரைகள் பொக்கிஷமாகக் கருதப்படுகின்றன.

தமிழ்ப்பாடல்களில் எண்கள்

                                                            

பழந்தமிழ்ப்பாடல்களில் பலவகையான சித்துவிளையாட்டுக்களை புரிந்திருக்கிறார்கள் நம் முன்னோர்கள். தமிழில் மேல்வாய் இலக்கம் கீழ்வாய் இலக்கம் என்று எண்களின் வரிசையில் வரும். இவை பின்னங்கள் எனப்படும்.
 முக்கால்,அரை,கால், அரைக்கால்,இருமா,மாகாணி,ஒருமா,கீழரை என்று குறைந்துகொண்டே வரும் அளவுகளை வைத்து காளமேகப் புலவர் பாடிய பாடல் இதோ:

முக்காலுக் கேகாமுன் முன்னரையில் வீழாமுன்
அக்கா லரைக்கால்கண் டஞ்சாமுன் - விக்கி
இருமாமுன் மாகாணிக் கேகாமுன் கச்சி
ஒருமாவின் கீழரையின் றோது

முக்கால்னா மூன்று கால்கள். வயதான பின் இரண்டு காலில் நடக்கத் தள்ளாடி ஒரு தடியை மூன்றாவது காலாகப் பயன்படுத்துகிறோமே…..அந்த நிலை வருவதற்குள், முன்னரையில் வீழாமுன்…நரை வருவதற்கு முன்னாலே
அக்காலரைக்கால்கண்டஞ்சாமுன்= அந்தக் காலர்களாகிய எமதூதுவரைக்கண்டு அஞ்சி கால்கள் நடுநடுங்குமுன்பாக , விக்கி இருமாமுன் = உயிர் பிரியுமுன்னர் விக்கிக்கொண்டு இருமல் ஏற்படுமுன்னர், ஊருக்கு வெளியிலுள்ள மாகாணி என்ற சுடுகாட்டுக்குப் போகும் முன்…காஞ்சியில்  மாமரத்தின் கீழ் உள்ள ஏகாம்பரேசுவரரை இன்றைக்கே துதிப்பாய்!
இதுதான் இந்த பாடலின் பொருள்.

பழந்தமிழ் சிலேடைப் பாடலொன்றில் பின்வருமாறு வருகிறது.
"பூனக்கி ஆறு கால்
புள்ளினத்திற்கு ஒன்பது கால்
ஆனைக்குக் கால் பதினாறு ஆனதே"
அதாவது:
பூனக்கி- பூ + நக்கி = பூச்சியினம்.
ஒன்பது கால் = 9 x 1/4= 2 1/4 = இரண்டு கால்.
கால் பதினாறு = நாலு கால்
பின்வரும்  பாடல் கம்பராமாயணத்தின் தொடக்கத்திலுள்ள தோத்திர பாடல்களுள் ஒன்று - அனுமன் துதி.

அஞ்சிலே ஒன்று பெற்றான்
அஞ்சிலே ஒன்றைத் தாவி
அஞ்சிலே ஒன்று ஆறாக
ஆரியர்க்காக ஏகி
அஞ்சிலே ஒன்று பெற்ற
அணங்கைக் கண்டு அயலார் ஊரில்
அஞ்சிலே ஒன்றை வைத்தான்
அவன் நம்மை அளித்துக் காப்பான்.

இப் பாடலில் அஞ்சு (ஐந்து) என்னும் எண்ணை வைத்துக்கொண்டு எப்படி விளையாடியிருக்கிறார்.வந்த சொல்லே மிக்குவருதலை, ஏந்தல் வண்ணம் என்பர் தொல்காப்பியனார் .
பஞ்ச பூதங்களில் ஒன்றான வாயு பகவானுக்கு மகனாக பிறந்தான்.பின்னர் ஐந்திலே மற்றொன்றான நீராகிய கடலைத் தாண்டி வான் வழியாக (ஆறு - வழி) ராமனுக்காக(ஆரியர்க்காக) சென்று ஐந்திலே இன்னொன்றான பூமியின் மகளாகத் தோன்றியசீதையைக் கண்டு இலங்கையில் (அயலார் ஊரில்) அவ்வைந்திலே கடைசியாக உள்ளதீயை வைத்தான். அப்படிப் பட்டவன் நம்மைப் பாதுகாத்து அருளுவான்.
 சங்க காலத்தில் எழுதப்பட்ட கணக்கதிகாரம் என்ற நூலில் பலாப்பழத்தைப் பிளக்காமல் அதன் உள்ளிருக்கும் சுளையின் எண்ணிக்கையை அறிந்துகொள்ளும் வழிமுறை மிக எளிமையாகக் கூறப்பட்டுள்ளது.

"பலாவின் சுளையறிய வேண்டுதிலேல் ஆல்கு
சிறுமுள்ளுக் காம்பரு எண்ணி - வருவதை
ஆறிற் பெருக்கியே ஐந்தனுக் கீந்திடவே
வேறெண்ண வேண்டாஞ் சுளை."

பலாப்பழத்தின் காம்புக்கு அருகில் உள்ள சிறு முட்களை எண்ணி ஆறாலே பெருக்கி ஐந்தால் வகுக்க பலாப்பழத்தினுள் உள்ள சுளைகளின் எண்ணிக்கையை அறியலாம்... சிறு முட்களின் எண்ணிக்கை "0" அல்லது "5" ஆகிய இரு எங்களை கொண்டு முடிந்தால் மட்டுமே ஆறாலே பெருக்கி ஐந்தால் வகுத்தால் முழு எண்ணாக விடை வரும்.
மூதுரை என்னும் நூலில் ஔவையார் அவர்கள் எழுதிய பாடல் பின்வருமாறு.

மானம் குலம் கல்வி வன்மை அறிவுடைமை
தானம் தவம் உயர்ச்சி தளன்மை - தேனின்
கசிவந்த சொல்லியர்மேல் காமுறுதல் பத்தும்
பசிவந்திட பறந்து போகும்.

பசி வந்தால் மானம், குலம்,  கல்வி, வன்மை, அறிவுடைமை, தானம், தவம், பதவி, இளகிய மனம், காமுறுதல்  ஆகிய பத்தும் பறந்துபோகும்  என ஔவையார் கூறுகிறார்.
 ஔவையார் ஒரு சமயம் சில புலவர்களைக் காணச் சென்றபோது அப்புலவர்கள் கவலைதோய்ந்த முகத்தோடு காணப்படவே அதன் காரணத்தை வினவினார்.
“நாளைப் பொழுது விடிவதற்குள் நான்கு கோடிப் பாடல்கள்  இயற்றவேண்டும் என மன்னவன் ஆணையிட்டுள்ளான். அதனால் தான் கவலையடைந்துள்ளோம்” என்று அவர்கள் கூறினராம்.
இதைக்கேட்ட ஔவையார், “இவ்வளவுதானா, இதற்காகவா கவலை கொண்டுள்ளீர்கள்” என்று கூறி கோடி என்ற வார்த்தையை அடக்கிய 4 பாடல்களைக் சொன்னார். இதுவே நாலு கோடிப் பாடல்கள் எனப்படும்.(.ஒளவையாரின் தனிப்பாடல் 42):

“மதியாதார் முற்றம் மதித்தொரு கால்சென்று
மிதியாமை கோடி பெறும்”
“உண்ணீர் உண்ணீரென்று உபசரியார் தம்மனையில்
உண்ணாமை கோடி பெறும்”
“கோடி கொடுப்பினும் குடிப்பிறந்தார் தம்முடனே
கூடுதலே கோடி பெறும்”
“கோடானு கோடி கொடுப்பினுந் தன்னுடைநாக்
கோடாமை கோடி பெறும்”

நல்ல பண்புகளை மதித்து நடக்காதவரின் வீட்டு வாசலை மிதிக்காமல் இருப்பது கோடி பொன்னுக்கு இணையானது ஆகும்.
உண்ணுமாறு விரும்பிக் கேட்டுக் கொள்ளாதவரின் வீட்டில் உண்ணாமல் இருப்பது கோடி பொன்னுக்கு இணையானது ஆகும்.
கோடி பொன்னைக்  கொடுத்தாவது நல்ல குடும்பத்தில் பிறந்தவர்களுடன் சேர்ந்து வாழ்வது கோடி  பொன்னுக்கு இணையானது ஆகும்.
பலகோடி பொன் கிடைப்பதாக இருந்தாலும் சொன்ன சொல்லிலிருந்து தவறாமல் வாழ்வது கோடி  பொன்னுக்கு இணையானது ஆகும்.
எண்களின் தமிழ் வடிவங்களை வைத்து சங்கேதச்சொற்களைப் புனைவதுண்டு.  உதாரணம்:

'ஏழு அஞ்சு மையன்னா' என்றும் 'ஒண்ணேமுக்கால் தையன்னா'
 
ஏழுக்குரிய தமிழ் வடிவம் = எ
அஞ்சு = ரு
ஏழு ஐந்து = எரு + மையன்னா - எருமை

ஒன்று = க
முக்கால் = 'ழு' வை ஒத்திருக்கும் வடிவம்

ஒண்ணேமுக்கால் = கழு + தையன்னா - கழுதை

இதைப்போன்றே ஔவையார் பாடல் ஒன்று இருக்கிறது.

கம்பர் ஔவையாரிடம் ஒரு பாடல்  சொல்லி நையாண்டி செய்ய, அந்த அம்மாள் அவரை நோக்கிப்பாடிய வசைக்கவி உண்டு.

'ஆரை' என்னும் கீரையை அடக்கி,

'ஒரு காலடி,
நாலிலைப் பந்தலடி' என்று விடுத்த விடுகவிக்கு 

எட்டேகால் லட்சணமே, எமனேறும் பரியே,
மட்டில் பெரியம்மை வாகனமே, - முட்டமேல்
கூரையில்லா வீடே, குலராமன் தூதுவனே,
ஆரையடா சொன்னாயடா!
என்று பதிலடி கொடுத்தார் ஒளவையார்.

பழமொழிகளிலும் எண்கள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன.
ஒரு பானை சோற்றுக்கு ஒரு பருக்கை பதம்
ஊரு ரெண்டு பட்ட கூத்தாடிக்கு கொண்டாட்டம்
‘ஐந்தில் வளையாதது ஐம்பதில் வளையுமா?’’
‘‘அஞ்சு வெரலும் ஒண்ணாவா இருக்கு’’

கன்று ஈன்ற பசுமாட்டை விலைக்கு வாங்கி வந்தவர் பசுவிடம் பால் இல்லாததால் ‘‘அஞ்சுக்கு ரெண்டு பழுதில்லை’’ என்றார்.பசுவில் இருந்து கிடைக்கும் பால், தயிர், நெய், கோமியம், சாணம் இவையே அந்த 5 விதமான பொருள்களாகும். இதில் பால், தயிர், நெய் இவை கிடைக்கா விட்டாலும் கோமியம், சாணம் என்ற இரண்டு பொருள்கள் மட்டும் உறுதியாகப் பசுமாட்டில் இருந்து கிடைக்கும். இதனைக் குறிக்கவே  மேற்கண்ட பழமொழி..
மந்திரத்தில் ஐந்தெழுத்து மந்திரம் சிறப்பானது.  ‘நமசிவாய’ என்பதே அச்சிவ மந்திரமாகும். இதனைச் சொல்பவர் பலவிதமான நன்மைகளையும் அடைவர். அவர்களைத் துன்பம் என்றும் அணுகாது. இவ்வைந்து எழுத்து மந்திரத்தினை முழுமையாகக் கூற இயலாவிட்டாலும் ‘சிவா’ என்று இரண்டெழுத்தைக் கூறினாலும்  சிவபெருமான், மந்திரம் சொல்வோரைக் காப்பாற்றுவார் என்ற  தெய்வ நம்பிக்கையை விளக்குவதாகவும் இப்பழமொழி அமைந்துள்ளது.

ஒருவன் நன்கு பாடுபட்டு உழைத்து உண்ணுதல் வேண்டும். அதுவே அவனுக்குப் பெருமை தரும். உழைக்காது உண்பது இழிவானதாகும். தம் உழைப்பில் கிடைத்த பொருளைத் தானும் உண்டு, பிறருக்கும் கொடுத்து உண்டு வாழ்பவனுடைய வாழ்வே உன்னதமானதாகும். இதனை,

‘‘அஞ்சு விரல்ல பாடுபட்டு
பத்து விரல்ல அள்ளித் தங்கணும்’’

ஐந்து குழந்தைகளும் பெண்குழந்தைகளாகப் பிறந்துவிட்டால் அரசனைப் போன்று செல்வ வளமுடையவர்களும் செல்வ வளம் குன்றி வறுமை நிலைக்குத் தள்ளப்படுவர். அதாவது பிச்சை ஏற்று வாழும் ஆண்டியாக ஆவர் என்பதை,

‘‘அஞ்சும் பொம்பிளப் பிள்ளையாப் பிறந்தா
அரசன் கூட ஆண்டியாகி விடுவான்’’ என்ற பழமொழி எடுத்துரைக்கின்றது.

இறப்பு என்பது எந்த வயதில் வரும் என்று அறுதியிட்டுக் கூற இயலாது.  எவ்விடத்திலும் எவருக்கும் எவ்வயதிலும் வரும். இதனை,

‘‘ஆறிலும் சாவு நூறிலும் சாவு’’ என்ற பழமொழி விளக்கியுரைக்கின்றது.

பஞ்ச பாண்டவர்களுடன் சேர்ந்து ஆறாவது ஆளாகப் போரிட்டாலும், நூறு கௌரவர்களுடன் நூற்றியோராவது ஆளாகப் போரிட்டாலும் கர்ணனுக்கு மரணம் என்பது நிச்சயம். அதனை மாற்ற முடியாது என்ற மகாபாரதக் கதையை விளக்கத் தோன்றியதே இப்பழமொழியாகும்.

மனித வாழ்க்கையை எட்டு எட்டாகப் பிரித்து - ஓரெட்டில் நடக்காத நடை, ஈரெட்டில் பயிலாத கல்வி, மூவெட்டில் செய்யாத திருமணம், நாலெட்டில் பெறாத பிள்ளை ஐயெட்டில் சேர்க்காத செல்வம், ஆறெட்டில் சுற்றாத உலகம், ஏழெட்டில் கொள்ளாத ஓய்வு, எட்டெட்டில் நிகழா இறப்பு இவை வீண்.எனவே எட்டு என்பது வாழ்க்கையில் பின்னிப் பிணைந்த ஓர் எண் என்பது தெளிவாகிறது.

நற்குடியில் பிறந்தோரும் பசி வந்திடில் தங்களின் நற்குணங்களை இழந்துவிடுவர். இழிசெயல்களைச் செய்யத் தொடங்குவர். இதனை,

‘‘பசி வந்திடப் பத்தும் பறக்கும்’’என்ற பழமொழி தெளிவுறுத்துகின்றது. அன்பு, கல்வி, ஈகை, கருணை, நட்பு, காதல், பகை, மானம், என்ற பத்துவிதமான குணங்களும் மிகுபசி உடையவனிடம் இருந்து விலகிவிடும்.

பதினாறும் பெற்று பெருவாழ்வு வாழ்க - என்று வாழ்த்துகிறோமே அவை என்னென்ன என்று கூறும் பாடல் இதோ:

துதிவாணி வீறு விசயம் சான்தனம் துணிவு
தனம் மதி தானியம் சௌபாக்கியம் போகம் அறிவு
அழகு பெருமை ஆறாம் குலம் நோய்கள்பூண் வயது
பதினாறு பேரும் தருவாய் பராபரமே...

இப்படி நிறைய பாடல்கள் நம் தமிழ்மொழியில் உண்டு.

தொகுப்பு:
லூசியா லெபோ.



வட்டமும் விட்டமும்




"எண்கள் உலகை ஆளுகின்றன" - 
கிரேக்கத்  தத்துவ வாதிகளின் கருத்து.
தமிழர்கள் ஒரு படி மேலே போய் , "எண்களும் எழுத்துகளும் (நமக்குக்) கண்கள் " என்றனர்!

"எண்ணென்ப ஏனை எழுத்தென்ப இவ்விரண்டும்  கண்ணென்ப வாழும் உயிர்க்கு " என்பாரே நம் திருவள்ளுவர். அதனையே இன்னும் சுருக்கி ஔவைப் பாட்டி "எண்ணும்  எழுத்தும் கண்ணெனத் தகும்" என்று சொல்லிவிட்டுப் போய்  விட்டாரே! இந்த எண்கள்  பற்றி ஏராளமாக எழுதலாம். எண்களின் அடிப்படையில் கணிதம் எழுகிறது. எண் கணிதத்தில்  மிக முக்கியமானவை மூன்று :
π, தங்க விகிதம் (golden ratio),  பிபோனாச்சி எண்கள்.  (Fibonacci numbers) இவை சுவாரசியமானவை கூட! இவற்றுள், தமிழ் நெடுங் கணக்கின் துணை எழுத்தான 'கால்' போல இருக்கிறதே π அதனைப் பற்றி மட்டும் இங்கே காண்போம். மற்ற இரண்டையும் வேறொரு சமயம் பார்த்துக்கொள்ளலாம்.

இந்த எழுத்து கிரேக்க நெடுங்  கணக்கின் 16 -ஆவது எழுத்து. இதன் பெயர் 'பை' (Pi).வட்டத்தின் சுற்றளவைக் குறிக்கப்  'பெரிமீட்டர்("περίμετρον" ) என்ற சொல்லைக் கிரேக்கர்கள் பயன்படுத்தினர். இப்பெயர் இந்த எழுத்தில் தொடங்குவதால், வட்டத்தின் விட்ட வகுதியைக் குறித்ததற்கு இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தினர். வட்டத்தின் விட்ட வகுதி என்றால்...? வாருங்கள் அதைப் புரிந்துகொள்வோம்.

இயற்கையில் எல்லாமே வட்ட (அல்லது நீள் வட்ட ) வடிவில் உள்ளன : வட்ட வடிவுக்கு எடுத்துக்காட்டாக உலகம், கோள்கள், நிலவு, பகலவன் என...அடுக்கிக்கொண்டே போகலாம் "அண்டப் பகுதியின் உண்டைப் பிறக்கம்" என்பார் மாணிக்கவாசகர். நீள் வடிவுக்குக் காட்டு பகலவனை மையமாக வைத்துக்  கோள்கள் சுற்றிவரும் பாதைகள். சரி, வட்டம் என்பது எது?

புள்ளி ஒன்றை மையமாகக்கொண்டு ஒரே தொலைவு இருக்குமாறு   மூடிய  கோடு ஒன்றை வரையுங்கள். (அந்தக் கோட்டில் உள்ள எந்தப் புள்ளிக்கும் மையப் புள்ளிக்கும் உள்ள அளவு ஒரே அளவாக இருக்கவேண்டும்).இதுதான் வட்டம். இந்த வட்டத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளிக்கு நேர் எதிராக இருக்கும் புள்ளியை இணைத்துக் கோடு இடுங்கள்.இந்தக் கோடுதான் விட்டம்.

இது வட்டம் :                                                                      இது விட்டம் :




இவை இரண்டுக்கும் அற்புதமான தொடர்பு இருக்கிறது ; வட்டத்துக்குள் விட்டம் அடங்கும். வட்டத்தின் சுற்றளவு "பரிதி" எனப்படும். வட்டத்தைக் குறிக்க தமிழர்கள் பரிதி என்ற சொல்லைப் பயன்படுத்தி உள்ளனர்..(முனைவர் பெ. துரைசாமி, தமிழரின் வானியல் கோட்பாடுகள், அறிவன் பதிப்பகம், தஞ்சாவூர், டிசம்பர் 2005. பக்கம் 34). 
வட்டத்துக்கும் விட்டத்துக்கும் உள்ள கணித உறவை இப்படி விளக்கலாம் :
வட்டத்தின் சுற்றளவு  = விட்டத்தின் அளவு  X  π.
இதில் π என்பது நிலை எண்  (மாறிலி - Constant).
அதாவது 
π = 
வட்டத்தின் சுற்றளவு
____________________
 
விட்டத்தின் அளவு
வட்டத்துச் சுற்றளவுக்கும் வட்டத்தின் விட்டத்துக்கும் உள்ள விகிதமே 'பை'.
        
இந்த 'பை' பற்றிய அறிவு மிக முற்கால நாகரிகங்கள் அனைத்திலும் இருந்து வந்துள்ளது.இதன் மதிப்பைப் பாபிலோனியர்கள், எகிப்தியர்கள், சீனர்கள், கிரேக்கர்கள்...எனப் பலரும் பலவிதங்களில் கணக்கிட்டனர். இவர்களுள் இந்தியக்  கணிதவியலாரும் அடங்குவர். பழங்கால நூலான காக்கைப் பாடினியம் கூறுவதைப் பாருங்கள் :
"விட்டமோர் ஏழு செய்து திகைவர நான்கு சேர்த்து
சட்டென
இரட்டி செயின் திகைப்பன சுற்றுத்தானே".
அதாவது,
இதன்படி விட்டத்தை வி என எடுத்துக்கொண்டால்,
1.        திகைவர = வி ஆகும்
2.        விட்டமோர் ஏழு செய்து = வி/7 ஆகும்
3.       நான்கு சேர்த்து = வி + 4*(வி/7) ஆகும்
 4       
சட்டென இரட்டி செயின் = (2 (வி + (4வி/7) ஆகும்.
இதன்படி முறைசெய்தால் (2 * ((11 வி) / 7)= 22/7.
இந்த அளவையும் எளிமையாக்கி கூறுகிறது கணக்கதிகாரம். (50) :
"
விட்ட மதனை விரைவா யிரட்டித்து
மட்டு
நான்மா வதினில் மாறியேஎட்டதினில்
ஏற்றியே செப்பிடி லேறும் வட்டத்தளவும்
தோற்றுமெனப்
பூங்கொடி நீ சொல்".
இதன்படி,
1.        விட்ட மதனை விரைவா யிரட்டித்து = 2 * வி ஆகும்
2.        மட்டு நான்மா வதினில் மாறியே = 4 * 1/20 = 4/20 ஆகும். (நான்மா = 1/5)
3.        எட்டதினில் ஏற்றியே = எட்டால் பெருக்க வேண்டும்.
இதன்படி,
(2 * வி * 4/20 * 8 )= (64/20) * வி = 3.2 வி ஆகும்.
நடைமுறை
வண்டித்தச்சர்கள் அச்சாணி செய்ய பயன்படுத்தப்படும் அளவையின் படி, விட்டத்தை மூன்றில் அரைக்கால் சேர்த்து அதை விட்டத்தோடு பெருக்கிக் கொள்கின்றனர். (அரைக்கால் = 1/8 = .125)
இதன்படி,
(3 + .125) * வி = 3.125 வி ஆகும்.
இவை அனைத்தையும் ஒப்புநோக்கினால் துல்லியக் கணக்கிற்கும் நடைமுறை கணக்கிற்கும் தமிழர் பாகுபடுத்திக் கணக்கியல் தந்ததனை அறிந்து கொள்ளலாம். அன்றைக்குத் தமிழர்கள் 'பை'க்குக் கண்ட மதிப்பு 22/7, 3.2, 3.125...இன்றைய கணக்கியல்படிச் சரியாகவே உள்ளது.
'பை-ன் பதின்ம எண் வரிசையிலே, எண்கள் எந்த முறையிலும் மீண்டும் மீண்டும் வாராமல் இருப்பது எதிர்பார்க்கப்பட்டது எனினும் ஒரு வியப்பான செய்தி. இந்த 'பை'-ன் பதின்ம(தசம) எண்கள் வரிசையில் முடிவேதும் இல்லை. இவ்வகை எண்கள் முடிவிலா துல்லியவகையைச் சேர்ந்த சிறப்பு எண்கள். கணித வரலாற்றில் விகிதமுறா எண்களின் அறிமுகம் ஒரு முக்கியமான  திருப்பம். பை, e,, Golden ratio ஆகியவை முக்கிய நன்கு அறியப்பட்ட விகிதமுறா எண்கள் ஆகும்.
மேலே சொன்னது போல வட்டத்துக்குச் சுற்றளவுக்கும் வட்டத்தின் விட்டத்துக்கும் உள்ள விகிதமான
'பை'-உக்கு π என்னும் கிரேக்க எழுத்தை  1737 -இல் அறிமுகப்படுத்தியவர் ஆய்லர் (Euler) .இதன் மதிப்பை நான்கு தசம இடங்கள் வரை 3.1416 என அறுதி இட்டவர்   இந்தியக் கணித அறிஞர் ஆரியபட்டர் . வடமொழிச்  சுலோகம் ஒன்று
gopiibhaagya madhuvraataH shruMgashodadhi saMdhigaH .
khalajiivitakhaataava galahaalaa rasaMdharaH
'பை'-இன் மதிப்பை 31 தசம இடலில் தருகிறது:
pi = 3.1415926535897932384626433832792.
கணித மேதை  இராமானுஜம்  எண்களைப்  பற்றி ஆராய்சிகள் செய்தவர்.அவர்   கண்டுபிடித்த  சூத்திரங்களுள் ஒன்று இது.

இதனைப் பயன்படுத்தி 1985 -இல் வில்லியம் கோஸ்பர் (William Gosper) 17 மில்லியன் தசம எண்கள்  வரை 'பை'-இன் மதிப்பை அளவிட்டுளார்.இப்படி 'பை'-இன் மதிப்பை அளவிடுவது கணித இயலாருக்கு வாடிக்கை மட்டுமல்ல வேடிக்கை கூட!இன்றோ பையின் (π ) அளவை ஒரு டிரில்லியன் பதின்ம (தசம) எண்களுக்கும் மேலாக, மாபெரும் வல்லமை படைத்த கணினிகளைக் கொண்டு கணித்து இருக்கிறார்கள்.

பை'-இன் பண்புகள் :
- இது வகுனி இல்லாதது ; அப்படி என்றால் விகிதம்  அற்றது. இதன் மதிப்பைப்  பின்னத்தில் குறிப்பிட இயலாது. (இதனை ஆங்கிலத்தில் irrational number என்பர்.) அதாவது விகிதம் போல் வகு கோட்டுக்கு மேலும் கீழும் முழு எண்களைக்கொண்ட ஒரு வகுனி எண்ணாக எழுத இயலாத எண் . இம்முடிவை       1761 -ஆம் ஆண்டு திரு. சோஃஆன் ஃஐன்ரிச் லாம்பெர்ட் (Johann Heinrich Lambert) என்பார் நிறுவினார்
- 'பை'-இன் மதிப்புக்கு,  3.14....எனத் தசமத்தின் பின் தொடரும் எண்களின் எண்ணிக்கைக்கு அளவோ முடிவோ கிடையாது.இவ்வெண்கள் ஈறிலி (infinity) வரை தொடர்ந்துகொண்டே இருக்கும்
"யாரே   வடிவினை முடியக்கண்டார்?" எனக் கம்பன் சொன்னது இதற்கும் பொருந்தும்.

'பை'-இன் பயன்பாடுகள் :
அறிவியலில்குறிப்பாகப்  பொருண்மை இயல் (physics) , பொறியியல் , மின் அமைப்புகள் (electrical systems) - 'பை'-இன் பயன்பாடு அதிகம். இரட்டைச் சுருள்  வடிவில்  DNA உருள்வதற்கும் 'பை'க்கும் நிறைய தொடர்பு உண்டு.சொன்னால் வியப்படைவீர்கள் : ஆம், வானவில்லில் கூட 'பை' இருக்கிறது! கண்ணின் பாவை ஆகிய கரு மணியிலும் அது உண்டு! நீரில் விழுந்து தெறிக்கும் மழைத் துளி கிளப்பும் அதிர்வலைகளிலும் அதைக் காணலாம்.வண்ணங்கள், இசை, புள்ளிவிவரங்கள்...எனப் பல இடங்களில் 'பை' தலை நீட்டும்! ஏன்  ஓரிடத்தில் நிகழும் இறப்புக்  கணக்கு எடுப்பிலும்   அது வருமே! வளைந்து நெளிந்து செல்லும் ஓர் ஆற்றின் நீளத்துக்கும் அதன் தொடக்கத்தில் இருந்து கடலில் கலக்கும் முகத்துவாரம் வரை நேர்க்கோடு கிழித்தால் வரும் தூரத்துக்கும் உள்ள விகிதம் எவ்வளவு தெரியுமா? ஆம், அந்த விகிதத்தின் மதிப்பு 'பை'-இன் மதிப்பேதான்! இதனை நிறுவியவருள்,   மாமேதை ஐன்ஸ்டீனும் ஒருவர்!
'பை'-இன் மதிப்பில் தசமப் புள்ளிக்குப் பின் வரும் எண்களைத் தவறு இல்லாமல்  மனப்பாடமாக ஒப்பித்த மனிதர்களும் உளர். 24 -  வயதான, சீன மாணவர்  லுய் சாவோ 67890 தசம இடம் வரையில் ஒப்பித்திருக்கிறார், சிறு தவறு கூட இல்லாமல்! இதற்கு அவர் எடுத்தக்கொண்ட நேரம் : 24 மணி 4 நிமிடங்கள்!
தினசரி வாழ்வில் இப்படிப்  'பை'இடம் பெறுகிறது. பல இடங்களிலும் பல விதங்களிலும் பயன்படும் 'பை' மாறிலிகளிலேயே தலை சிறந்தது! அதனால்தான், இதனைச் சிறப்பிக்க மார்ச் 14 ஆம் தேதியை 'பை'  உலக நாளாகக் கொண்டாடுகிறார்கள். இதனை எண்ணில்  எழுதிப் பாருங்கள் :3.14 ! 'பை' -இன் மதிப்பு இப்படித்தானே தொடங்குகிறது. அறிவியல்  மாமேதை ஐன்ஸ்டீன் பிறந்த நாளும் அதுவே. பொருத்தம்தான்!'

'பை' காட்டும் தத்துவங்கள் :
வட்டமும் விட்டமும் கணவன் மனைவி போல! வட்டம் – கணவன். அதன் மையப் புள்ளிதான் மனைவி. மையப் புள்ளி இல்லாமல் வட்டம் வரைய முடியாது. மனைவி இல்லாமல் கணவன் என்னும் பதவி இல்லை! மையப் புள்ளியைச் அச்சாகக் கொண்டுதான் வட்டத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளியும் சுற்றி வர முடியும். மனைவியைச் சுற்றி வந்தால்தான் கணவன் வாழ்வு சிறக்கும்.
வட்டத்துக்குள் விட்டம் அடங்கும் - மனைவி, கணவனுக்குள் அடங்குவது போல! வட்டத்துக்குள் வெளியே விட்டம் இருக்க இயலாது ; வட்டம் இல்லையேல் விட்டம் இல்லை! கணவனை விட்டகன்றால் மனைவி பட்டம் காலி. விட்டத்துக்கு ஆரங்கள் இரண்டு ; இரு மடங்கு மதிப்பு தரும்  கணவனை மனைவி 'விட்டமாக'த்  (தூணாகத்) தாங்குவாள்.
ஆண்டவனுக்கு ஆதியும் இல்லை அந்தமும் இல்லை ; 'பை' –இன் மதிப்புக்குத் தொடக்கம் உண்டு ஆனால் முடிவே இல்லை! அடி, முடி தேடிய படலத்தில் சிவபெருமான் அடி தேடிப் பாதாளத்தைத் தோண்டிக்கொண்டே போன வராக  மூர்த்தி அவதாரத்தின் கதைதான். இந்தக் கதையின் கணிதச் சான்று (mathematical evidence) 'பை'-தான்! இறைவன் நீக்கமற எங்கும் நிறைந்திருப்பது போல 'பை'-இன் பயன்பாடுகள் எல்லா இடங்களிலும் உண்டு…
இப்படிப் 'பை' காட்டும் தத்துவங்கள் பலப்பல. 'பை'-இன் மகத்துவத்தை என்னென்பது!

- பேராசிரியர் பெஞ்சமின் இலெபோ .